MOUVEMENTS KEPLERIENS

	CONTENU : Revu et mis à jour sept 2011 I Historique II Loi de la gravitation | Hypothèse képlérienne Données numériques dans le système solaire III Cadre de l'étude Problème des deux corps en interaction gravitationnelle. Points de Lagrange Notion de sphère d'influence d'une planète Repères de calcul adoptés IV Grandes lois de conservation Moment cinétique | Energie mécanique V Lois de Képler Equation polaire | Longueurs remarquables ellipse VI Résumé des résultats VII Erreurs dans le plan de tir Note de calcul du jour julien VIII Débris spatiaux

I HISTORIQUE :

Pour fixer les idées de l'étude du mouvement des corps célestes, quelques dates sont nécessaires:

1602 : KEPLER observe que les rayons vecteurs des planètes balaient des aires égales en des temps égaux. C'est la fameuse LOI DES AIRES.

1605 : Toujours par l'observation KEPLER identifie les orbites des planètes à des ellipses, de foyer le Soleil. Plus tard Newton qui retrouvera par le calcul différentiel ces trajectoires coniques, en déduira la loi de la gravitation.

1618 : de nouvelles mesures permettent d'établir la loi des périodes, à savoir:

1667 : NEWTON maintenant muni de la théorie du calcul différentiel et intégral, reprend les observations de Képler et énonçant la loi de la gravitation universelle, confirme toutes les lois de Képler et ouvre ainsi la période du déterminisme scientifique et la voie à la conquête spatiale.

II LOI DE LA GRAVITATION : ( Voir l'histoire de la gravitation )

1°) ENONCE EN HYPOTHESE NEWTONIENNE :

Sans revenir au point matériel, énonçons :

Tout corps sphérique de centre O, homogène par couches concentriques, de masse M, exerce sur un point S de masse m situé à une distance r du point O, une force attractive F, donnée par:

G = 6.67 10^-11 m³ kg^-1 s^-2 constante de la gravitation universelle.

Les conditions restrictives sur la forme du corps attirant, forment l'hypothèse newtonienne ou képlérienne.

La mécanique nous apprend par ailleurs qu'une telle force ne dépendant que du rayon vecteur, dérive d'un potentiel U dit POTENTIEL NEWTONIEN :

Potentiel réel de la Terre : VOIR EXCELLENT SITE DU BGI.CNES

Notre planète n'est ni sphérique ni homogène par couches concentriques homogènes. Des développements en séries ont donc été mis en œuvre pour représenter au mieux les irrégularités de forme et de densité de notre astre. Les coefficients revêtent un certain caractère empirique et la précision des développements croît avec l'accumulation des missions spatiales et la qualité des accéléromètres embarqués.

r, l, L coordonnées sphériques satellite: rayon vecteur, latitude et longitude satellite

J_n coefficient de l'harmonique zonal d'ordre n

C_n,m et S_n,m coefficients des harmoniques tessereaux

P_n et P_n,m polynôme de Legendre d'ordre n et fonction de Legendre associée

Pour les valeurs numériques consultez les ouvrages spécialisés dont ceux du CNES ou contactez le CNES.

IMPORTANT :

Classiquement c'est le terme dit en J2 traduisant l'influence de l'aplatissement polaire qui donne l'essentiel de la perturbation gravitationnelle due à la non sphéricité terrestre. U_K désigne la partie centrale du potentiel terrestre.

U_P désigne le terme perturbateur du dû à l'aplatissement.

2°) VALEURS NUMERIQUES DU SYSTEME SOLAIRE

Les masses des corps principaux attirants, sont énormes, par exemple la terre M_T = 5.976 10²⁴ kg, le soleil dont la masse est environ 300000 fois celle de la terre, etc...

On voit donc que le produit GM fait intervenir la constante G très petite et la masse très grande d'un astre, les astrophysiciens ont donc décidé de ne faire intervenir qu'une seule constante caractéristique de la gravitation créée par l'astre le produit GM, appelé CONSTANTE DE GRAVITATION DE L'ASTRE notée m=GM.

Par exemple pour la terre et le soleil on a :

Donnons ci-dessous les caractéristiques principales des corps du système solaire, constante m, demi-grand axe a de l'orbite elliptique, excentricité e, inclinaison i du plan orbital sur l'écliptique

NB : L'écliptique est le plan de l'orbite de la terre. RAYON TERRESTRE = 6378 km à l'équateur. Actuellement la sensibilité de précision de la mesure d'une accélération est annoncée à 10^-18 m/s² en 2003 avec le satellite STEP (http://einstein.stanford.edu/STEP/step2.html), destiné à valider ou pas le principe d'équivalence sur la masse d'Einstein, précision actuelle 10^-11 m/s²

Astre	m en km^3 s^-2	a en 10^6 km	e	i
SOLEIL	13.27 10^10
Mercure	2.232 10^4	57.9	0.22056	7°.004
Vénus	3.25710^5	108.1	0.0068	3°.394
Terre	39.86 10^4	149.6	0.0167	0°
Mars	4.305 10^4	227.8	0.0934	1°.85
Jupiter	126.8 10^6	778	0.0482	1°.306
Saturne	37.95 10^6	1426	0.0539	2°489
Uranus	5.820 10^6	2868	0.0514	0°773
Neptune	6.896 10^6	4494	0.0050	1°.773
Pluton	3.587 10^3	5896	0.25583	17°.136
Lune	4.903 10^3	384000 Km/ Terre		5°.1 /équateur

L'unité astronomique ( UA )est la distance moyenne Terre-Soleil : 1 UA = 149.59787 10⁶ km

III MISE EN PLACE DU CADRE DE L'ETUDE :

Nous allons subir trois contraintes, dans l'étude du mouvement d'un satellite ou d'une sonde spatiale.

 Travailler en repère inertiel

 Utiliser le potentiel newtonien U

 Ne conserver que 2 corps en interaction, car il a été prouvé par le mathématicien Poincaré que le problème des 3 corps n'avait pas de solution exprimable par des fonctions élémentaires.

L'ensemble de ces conditions constitue le cas newtonien simplifié.

1°) PROBLEME DES DEUX CORPS EN INTERACTION DE GRAVITATION :

M₁ ET M₂ sont les deux corps de masses m₁ et m₂, de centre d'inertie G.

La mécanique classique nous indique que pour un système isolé, le centre d'inertie G a un mouvement rectiligne uniforme. Le principe de relativité de Galilée permet de choisir G comme origine d'un repère inertiel Ra. Bien sûr, en pratique ce n'est pas très commode parce que l'étude du mouvement est en général rapportée à un repère R relatif, non inertiel, d'origine l'un des corps. C'est ce problème que nous abordons.

a. Repères :

b. Equations du mouvement :

La loi fondamentale appliquée dans Ra donne les relations suivantes

La géométrie du centre d'inertie fournit

c. Transformation du problème :

Si on imagine que M₁ est la planète intéressante pour suivre le mouvement du satellite, alors il faut former une équation vérifiée par le rayon vecteur. Le lecteur fera les calculs simples qui conduisent à :

Ce résultat montre que le repère relatif R, d'origine M₁, peut être considéré comme galiléen, à condition de remplacer la masse m₂ du corps attiré M₂ par la MASSE REDUITE M ci-dessous :

d. Cas particulier :

En général, sauf pour les astronomes s'occupant des corps célestes de masses non négligeables, nous nous intéressons au mouvement d'un satellite de masse m infiniment petite devant la masse M du corps principal. Dans ces conditions la masse réduite est égale à la masse inertielle m. Ce sera notre cas dans tout le cours.

2°) NOTION DE SPHERE D'INFLUENCE D'UNE PLANETE :

 Site pour une liste de liens concernant le problème des 3 corps: http://www.astrosurf.com/rondi/3c/liens.htm

Le problème des 3 corps est présent dans toute mission, même en excluant, ce qui est légitime, les actions des planètes lointaines.

En effet, prenons une mission telle que Galiléo, lancée pour étudier l'environnement de Jupiter.

La sonde passe par trois phases bien distinctes :

 Le départ sous l'action de la terre, du soleil. On pressent bien que l'attraction terrestre est prédominante

 La phase héliocentrique où probablement les actions des planètes devraient pouvoir être négligées

 L'arrivée dans les parages de Jupiter, où certainement l'attraction de Jupiter finira par devenir prépondérante.

QUESTION ?: A quelle distance de la planète pourra-t-on estimer que l'on peut négliger son attraction devant celle du soleil? Et peut-on près de la planète "oublier" la perturbation solaire?

EQUATIONS DU MOUVEMENT RAPPORTEES A CHAQUE REPERE

m_S, m_P désignent les constantes de gravitation du soleil et de la planète. Sur la figure on lit r₁, r₂, r les rayons vecteurs, u₁, u₂, v, les unitaires des rayons vecteurs de repérage.

Nous considérons un repère héliocentrique, à directions stellaires, comme un excellent repère inertiel ou galiléen, noté Ra. R désignera un repère "équipollent" à Ra mais, relatif, d'origine une planète P ( pour exemple le terre ). M est le satellite ou la sonde de masse m, en mouvement sous l'action du soleil et de la planète.

La loi fondamentale appliquée à la sonde M dans Ra donne :

Le premier terme sera considéré comme attraction principale du corps central à partir de l'origine du repère, le second comme la perturbation due à la planète

Appliquée à la terre, et en négligeant l'attraction sonde sur terre, devant celle du soleil, il vient :

où Ge désigne, en terme de composition des mouvements, l'accélération d'entraînement du point M du repère R, par rapport à Ra. On notera que l'accélération de Coriolis est nulle.

En repère relatif on a :

Comme plus haut, nous faisons apparaître l'attraction principale due à la planète et un terme entre crochets qui représente la contribution du soleil, considérée comme une perturbation.

NB: on remarquera que la perturbation d'origine solaire est différente de l'attraction solaire, faisant apparaître une différence de 2 termes, elle prend en compte le caractère relatif du repère R d'origine la planète.

INTRODUCTION DE LA NOTION DE SPHERE D'INFLUENCE :

Le but poursuivi est de négliger le terme perturbateur devant l'attraction principale, mais alors quel est le repère dans lequel l'approximation est la meilleure? La réponse est apportée par la comparaison des deux rapports suivants :

CONCLUSION :

L'égalité entre les deux rapports définit une surface entourant la planète, voisine d'une sphère, appelée sphère d'influence de la planète.

eS = eP	Relation de définition de la sphère d'influence
eS < eP	Il vaut mieux travailler en repère héliocentrique, c'est le cas de la partie héliocentrique d'un voyage interplanétaire. HORS SPHERE D'INFLUENCE la perturbation planète est négligée, SEULE L'ATTRACTION SOLAIRE AGIT
eS > eP	Il vaut mieux travailler en repère planétocentrique, c'est le cas de la phase de départ d'un voyage interplanétaire, ou des mouvements des satellites artificiels au voisinage de la planète. DANS LA SPHERE D'INFLUENCE la perturbation solaire est négligée, SEULE L'ATTRACTION PLANETE AGIT

Naturellement, les affirmations ci-dessus n'ont de sens que si:

 : L'approximation n'est pas grossière. Voir calcul de l'erreur commise pour un géostationnaire de la terre. Le calcul donne une erreur relative de 1.5 10^-5

Donnons une relation classique du rayon moyen de la sphère d'influence, calculé dans la direction normale à la direction Soleil-Terre.

 : La sphère d'influence a un rayon supérieur à celui de la planète. voir calcul du rayon en exercice. Le calcul donne pour la terre R_sphère = 924000 km

Il est clair cependant que la "surface d'influence" a une forme de "poire" d'axe la ligne terre-soleil, plus allongée en sens contraire du soleil. Certains calculent le "rayon minimal" de la sphère d'influence pour la position entre la terre et le soleil et obtiennent alors la relation

Le calcul donnerait alors un rayon de 805000 km.

Nous retiendrons que la sphère d'influence de la terre a un rayon de l'ordre de 850000 km

2°) a) POINTS DE LAGRANGE:

Présentons ici, sans développement théorique et seulement à titre d'information, la notion de point de Lagrange. Vous trouverez la théorie détaillée dans tous les ouvrages de mécanique spatiale avancée.

Il faut disposer d'un système isolé de 3 corps, par exemple le Soleil O en corps principal, la Terre P comme astre secondaire sur orbite circulaire et une sonde spatiale M.

Dans le bilan des masses la sonde n'apparaît pas et, pour un système isolé, le centre d'inertie G de ce système est donc en mouvement rectiligne uniforme dans un repère galiléen. G peut donc être considéré comme fixe et origine lui-même d'un autre repère galiléen Ra :GxaYaZa, non explicité sur la figure.

Dans Ra la loi fondamentale s'applique en toute rigueur, mais elle n'est pas intéressante. Par contre, on peut introduire un repère relatif R GXYZ, tournant avec la ligne OP à une vitesse angulaire constante, ce qui est le cas pour la terre avec une excellente approximation.

Nous savons que R peut être accepté comme repère absolu si on ajoute aux forces physiques classiques de gravitation les "forces dites d'inertie" de Coriolis et d'entraînement cette dernière appelée "force centrifuge".

Proposons nous de déterminer des points d'équilibre de M dans le champ des forces de gravitation et d'inerties . Il est clair alors que la force d'inertie de Coriolis disparaît à l'équilibre, puisque la vitesse relative à R est nulle ( équilibre dans R ). Le lecteur se convaincra aisément qu'un tel équilibre est possible dans le plan GXY pour 5 positions distinctes L1 L2 L3 L4 L5. Ces points sont appelés POINTS DE LAGRANGE du système astre principal O et planète P.

Il est très facile de vérifier que les points L1 L2 L3 sur l'axe OP sont instables. Il est plus difficile de montrer que dans le plan GXY, les points de Lagrange L4 et L5 sont stables, du moins dans le plan de la figure( il y a instabilité normalement à ce plan). Ces points sont mis à profit, dans le système Terre-Soleil, pour y placer un observatoire fixe par rapport au Soleil, comme la sonde SOHO, lancée en novembre 1995.

D'ailleurs, on peut observer que, naturellement, dans le système Soleil-Jupiter, des satellites de Jupiter dits troyens, restent en équilibre aux points de Lagrange L4 et L5.

NB : La figure ci-dessus n'est pas en proportions exactes, car il est démontré que les points de Lagrange L4 et L5 sont aux sommets de triangles équilatéraux de base OP = Terre-Lune=384600 km. Ceci pour placer G nettement écarté de O, alors qu'il en est très proche, avec OG=4673 km. Ainsi :

N° Point de Lagrange	Abscisse X (Km) Mesurée dans GXY depuis G	Ordonnée Y (km) Dans GXY
L1	321850	0
L2	444450	0
L3	-386490	0
L4	187510	-333073
L5	187510	333073

NB : naturellement aucune force ne peut contrôler le mouvement perpendiculaire au plan GXY, ce qui demande un contrôle en permanence mais à très faible consommation d'ergols.

UTILISATION POSSIBLE DES POINTS DE LAGRANGE:

Point de Lagrange	Usage
L1	Observation de la queue magnétosphérique de la terre. Relai dans le système Terre-Lune pour des télécommunications avec la face cachée
L2	Observation du Soleil. Assemblage des éléments d'une mission spatiale

NB : De nombreux sites traitent des particularités des points de Lagrange et des satellites troyens:

http://www.astrosurf.com/sar/expose/expo001.html

http://www.astrosurf.com/rondi/3c/troyens.htm

http://www.unige.ch/science-cite/astroqr/R270.html

etc....

Autre exemple avec le système Soleil-Terre, le dessin se suffit à lui-même :

Ci contre un dessin avec "orbite de halo" autour de L2, l'orbite lunaire en comparaison

NB :Les points de Lagrange présentent un grand intérêt pour les missions scientifiques d'observation qui nécessitent une stabilisation autour d'un point fixe d'observation. Avec une sonde posée sur un de ces points de Lagrange, on minimise la consommation de carburant pour la stabiliser, augmentant la durée de vie.

Actuellement, plusieurs missions utilisent ou prévoient d'utiliser les points de Lagrange du système Soleil+Terre. Depuis décembre 1996. SOHO décrit une orbite, dite de halo, autour du point de Lagrange L1. Ce point est situé à 1,5 million de kilomètres de la Terre, en direction du Soleil. L'orbite de halo, qui mesure 670 000 km de long, pour 200 000 km de large et 120 000 km de haut, permet à SOHO de rester autour de L1.

Les futures missions comme Map, Planck ou le NGST seront posés en L2.

b) POINTS DE LAGRANGE ET AUTOROUTES DE L'ESPACE :

L'époque actuelle est celle de la grande exploration systématique de tous les corps du système solaire. Pour les planètes proches ce travail a déjà commencé il y a longtemps, avec des vitesses de lancement acceptables. Pour les plus lointaines, depuis quelques années, on a recours à un ou plusieurs tremplins gravitationnels pour y parvenir ( En clair on "vole" un peu d'énergie à une planète, pour économiser du carburant et gagner en masse utile ).

La gravitation à 2 corps est relativement aisée à maîtriser, à 3 corps le casse tête n'est pas encore apprivoisé. Mais des mécaniciens-mathématiciens subtils continuent, par des méthodes utilisant l'espace des phases à 6 dimensions ( vitesse et position ) à mieux cerner les trajectoires interplanétaires faisant intervenir 3 corps. Les points de Lagrange y jouent alors un rôle capital.

Le sujet étant très délicat et ne voulant pas recopier un article de Pour la Science de mai 2007, je vous renvoie à ce dernier intitulé : LES AUROUTES DE L'ESPACE où il est question des futurs voyages interplanétaires à basse vitesse de lancement.

3°) REPERES DE CALCUL ADOPTES :

a. Mouvements autour de la terre :

A la lumière des résultats précédents :

• En négligeant les perturbations solaire (et lunaire) devant l'attraction principale terrestre, donc en travaillant dans la sphère d'influence de la terre
• En remarquant que pour un satellite, la masse réduite est égale à la masse inertielle

On peut choisir un repère inertiel Ra, appelé GEOCENTRIQUE EQUATORIAL, d'origine le centre terre et de directions stellaires. Lequel.?

Conventionnellement, les spécialistes de l'espace et de l'astronomie, ont convenu de prendre un repère associé au jour 2000

SYSTEME DE COORDONNEES J 2000 :

La date de référence est le 1/1/2000 à 12 h TU, considéré comme origine 0 des jours juliens.

 Origine centre Terre

 Troisième axe K ou Z, l'axe de la rotation terrestre ( considéré comme fixe, mais en réalité dérivant avec la précession de Hipparque à 50" arc/an autour du nord écliptique, dans le sens rétrograde )

 Premier axe I ou X, unitaire de la ligne vernale g₂₀₀₀, qui est l'intersection du plan équatorial moyen de la terre et de l'écliptique le 1/1/2000 à 12 h, cet axe pointe donc depuis le centre terre, le soleil au premier instant du printemps de l'an 2000.

NB : le calendrier julien est un calendrier où les dates sont comptées linéaires et décimales, avec origine le 1/1/2000 à 12 TU, par exemple le 25/12/1999 à 11 h 24 mn 45 s = - 7.0244792 JJ (Voir routine J_JULIEN.EXE) Voir note de calcul du jour julien

Excellent site de la NASA pour les connaissances basiques http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf2-1.html

a. Mouvements autour du soleil :

Nous savons que l'écliptique est le plan de l'orbite terrestre, donc la ligne vernale g ( ou axe I du repère géocentrique équatorial, appartient à ce plan. On peut donc définir, un autre repère inertiel, pour les mouvements héliocentriques, le REPERE HELIOCENTRIQUE ECLIPTIQUE, X_E = I, Y_E, Z_E, qui se déduit du précédent par une rotation autour du premier axe I ou X_E, d'angle e = 23° 27'.

IV GRANDES LOIS DU MOUVEMENT :

Nous allons établir deux intégrales premières du mouvement, traduisant deux conservations importantes.

1°) CONSERVATION DU MOMENT CINETIQUE = LOI DES AIRES :

La force de gravitation newtonienne est centrale, donc de moment nul au centre O du corps principal. Il en résulte la CONSERVATION DU VECTEUR MOMENT CINETIQUE, soit

Le vecteur W est l'unitaire de H ou de h appelé MOMENT CINETIQUE réduit. K s'appelle la CONSTANTE DES AIRES.

Conséquences : Le mouvement du satellite est plan, dans un plan fixe, passant par O et orienté par le moment cinétique réduit h. On retrouve une des lois de Képler.

Rappels sur les coordonnées polaires :

La figure ci-dessous rassemble les éléments essentiels des coordonnées polaires, utiles à ce cours.

• R, q sont le rayon vecteur, mesuré positivement sur l'unitaire u, et l'angle polaire mesuré >0 autour de W.
• u et v sont les axes associés aux coordonnées polaires. u le RADIAL, v l'orthoradial
• S(t) est la position courante S(to) la position à l'instant initial to.
• V est le vecteur vitesse absolue, de composantes V_r sur le radial, V_q sur l'orthoradial.
• g est la pente absolue de la vitesse, comptée positive ( comme sur la figure ) quand le vecteur vitesse est au dessus de l'horizontale locale.
• La zone coloriée en bleu est l'aire A balayée par le rayon vecteur entre to et t.

On rappelle quelques résultats :

la dernière relation donne son nom à la loi des aires, puisque la dérivée de l'aire balayée est constante.

2°) CONSERVATION DE L'ENERGIE MECANIQUE :

S'il est un endroit de l'univers où les lois de la mécanique sont parfaitement vérifiables, c'est bien l'espace, parce que le frottement ou les causes de dissipation y sont extrêmement faibles. Dans le champ d'une seule force dérivant d'un potentiel, le mouvement vérifie la CONSERVATION DE L'ENERGIE MECANIQUE.

On aboutit ainsi à l'équation dite de l'énergie, dans laquelle E désigne l'ENERGIE SPECIFIQUE c'est à dire par kg envoyé.

APPLICATION : DEUXIEME VITESSE COSMIQUE

On appelle deuxième vitesse cosmique à la distance ro, la vitesse minimale nécessaire pour se libérer de l'attraction de l'astre. En d'autres termes la trajectoire doit avoir une branche infinie, donc quand r tend vers l'infini, V doit rester calculable, ce qui nécessite une énergie spécifique positive E > 0.

Dans ces conditions la vitesse est donnée par : Numériquement, pour la terre à 200 km / sol V2 est voisine de 11 km/s

NB : Vous réfléchirez à cette question ? Pourquoi les petites planètes n'ont-elles pas d'atmosphère alors que les grosses ont pu conserver la leur? Réponse avec la prise en considération de la vitesse de libération et l'agitation moléculaire, à mettre en forme.

V OU L'ON RETROUVE QUE LES TRAJECTOIRES SONT DES CONIQUES :

1°) Equation polaire de la trajectoire :

Plaçons nous dans le plan orbital, en coordonnées polaires (voir figure plus haut ).

Nous possédons 2 intégrales premières dépendant des deux constantes essentielles E et K.

L'élimination de q entre les deux équations donne:

Ou encore grâce à la loi des aires qui donne la dérivée de l'angle polaire:

Une dernière transformation que le lecteur fera au passage donne une forme intégrable classique :

Le lecteur achèvera un calcul maintenant évident qui fournit l'équation polaire de la trajectoire

2°) NATURE DE LA TRAJECTOIRE ET CONCLUSIONS:

On reconnaît l'équation d'une conique dont les éléments caractéristiques sont :

Excentricité
Paramètre
Angle polaire du périgée	qo

Nous ne connaissons que trois types de coniques.

  La parabole correspondant à e = 1 ou E = 0, physiquement irréalisable, car la probabilité de réaliser un tir d'énergie nulle, est nulle.

L'ELLIPSE, très courante, pour e < 1 ou E < 0. Elle correspond à un tir d'énergie faible, conduisant à une capture par la terre, ce qui physiquement se comprend comme une insuffisance d'énergie pour "sortir" du puits de potentiel de la terre. La vitesse Vo est inférieure à la vitesse de libération à la distance ro. Ces orbites elliptiques correspondent aux applications courantes terrestres. On parle aussi de trajectoires de capture

L'HYPERBOLE, utilisée pour les tirs interplanétaires, e > 1 ou E > 0,. Elle correspond à un tir d'énergie forte, conduisant à une libération par rapport à la terre, ce qui physiquement se comprend comme une énergie suffisante pour "sortir" du puits de potentiel. La vitesse Vo est supérieure à la vitesse de libération à la distance ro.

On parle encore d'évasion.

ORBITE CIRCULAIRE : Elle nécessite une excentricité e = 0, ce qui est mathématiquement possible mais difficilement réalisable en pratique?. Cependant, on peut s'en approcher, sans problème en affinant les conditions initiales. La constance de son altitude sol est un atout pour la plupart des applications, elle est donc très pratiquée.

Les conditions initiales sont strictes, le lecteur le vérifiera:

Orbite circulaire

QUELQUES VALEURS NUMERIQUES:

• PREMIERE VITESSE COSMIQUE : Conventionnellement, bien qu'elle n'ait pas de réalité physique, c'est la vitesse nécessaire pour se placer en orbite circulaire au ras du sol terrestre, elle nécessite Vo = 7.9 km/s.
• Vitesse en orbite basse d'altitude Z = 230 km, Vo = 7.766 km/s, c'est la vitesse pratiquée par Gagarine et Glenn, lors de leur premier vol circumterrestre.
• Vitesse en orbite géostationnaire, elle sera calculée plus tard et vaut Vo = 3.075 km/s
• Vitesse de la lune : sensiblement en orbite circulaire vers 384000 km du centre de la terre, Vo = 1.018 km/s.

3°) LONGUEURS ET RELATIONS REMARQUABLES DANS L'ELLIPSE :

Une figure illustre clairement les définitions suivantes.

a. Longueurs remarquables :

• a demi grand axe, 2a = AP où
• A est l'apogée, point le plus éloigné du centre O
• P est le périgée, point le plus rapproché du centre O
• b demi petit axe, b = IB, I est le centre
• c demi distance focale, c = OI, où O est le foyer actif.

b) Relations remarquables : nous les donnons sans démonstration, renvoyant le lecteur aux traités classiques de géométrie.

c. Définition bifocale de l'ellipse :

Une ellipse est l'ensemble des points du plan dont la somme des distances à 2 points fixes O et F est constante et égale à 2a. De plus la TANGENTE EN M à l'ellipse est BISSECTRICE EXTERIEURE DE L'ANGLE DES RAYONS VECTEURS

d. Période orbitale :

La loi des aires permet de calculer la période orbitale képlérienne T. En effet l'aire A de l'ellipse vaut A = pab:

Nous retrouvons ainsi une des lois de Képler les plus remarquables.

NB : On peut dès lors calculer le rayon de l'orbite géostationnaire, puisque la période orbitale est celle de la terre, soit T = 23 h 56 mn 04,1 s = 86164,1 s. Le calcul donne alors r_g = 42164 km.

4°) ENERGIE ET DEMI GRAND AXE :

Il existe une relation remarquable entre E et a, que nous établissons pour une ellipse:

Pour l'hyperbole il suffit de changer de signe.

VI RESUME DES EQUATIONS :

Pour tout ce qui concerne le calcul des vitesses et des angles sur une trajectoire képlérienne, les équations de conservation sont suffisantes. Nous nous limitons à l'ellipse et donnerons plus loin les relations propres à l'hyperbole.

1°) CONSERVATIONS :

Equation de l'énergie :

Conservation du moment cinétique ou mieux LOI DES AIRES:

2°) Quelques relations courantes :

Pour l'ellipse :

VII ERREURS DE TIR :

Nous nous intéressons ici, aux conséquences des erreurs sur l'orbite, commises sur la vitesse de tir Vo, la distance ro, l'angle de tir go. En clair, uniquement les variations de forme de l'orbite mais pas le plan orbital lui-même.

Soit X un paramètre quelconque lié au mouvement ( a, e, p, ra, rp, T, Vp, Va,...), il est uniquement fonction des paramètres Vo, ro, go., soit X = f(Vo, ro, go). Imaginons des dispersions de tir dVo, dro, dgo petites, comment calculer les conséquences sur X. De toute évidence l'outil mathématique est la différentielle.

NB : Surtout ne pas calculer les dérivées partielles, mais travailler numériquement, avec des variables intermédiaires.

EXEMPLE SUR LA PERIODE T :

On dispose des liens suivants:

Le calcul des différentielles en cascade donne:

fournissant les dérivées partielles, qui sont les facteurs d'amplification des erreurs.

De manière générale vous utiliserez les tableaux de dérivées donnés ci-dessous, pour obtenir toute erreur sur un paramètre.

Par exemple, pour la distance apogée r_a = a(1+e) on a dr_a = ade+(1+e) da, avec de et da aisément calculables avec les relations ci-dessus..

NB : Si vous possédez l'intégralité du site et Windows, vous pourrez retrouver toutes les formules du cours dans un document hypertexte fonctionnant comme les aides de Windows, appelé MECASPAT.HLP, dans le répertoire ROUTINES\HLP\MECASPAT. Un clic sur ce fichier permet l'utilisation. Un téléchargement est également possible en rejoignant la page dédiée à ce rôle.

EXEMPLE POUR ARIANE 5G (d'après le MUA = Manuel Utilisateur d'Ariane 5), les dispersions de tir sont pour ce lanceur, à 1 s :

da = 40 km, de = 0.0004, di = 0°.02, les erreurs sur les autres paramètres non encore définis sont dw = dW = 0°,15

NOTE PARTICULIERE DE CALCUL DU JOUR JULIEN :

Vous rencontrerez dans la littérature plusieurs jours juliens :

 JOUR JULIEN NOUVEAU : associé J2000. Le compteur est à 0 le 01/01/2000 à 12 heures

La formule permettant ce calcul est

avec :

Y le n° de l'année dans le siècle, compté à partir de 2000 :

( 2003 ---> Y=3 , 1986 --> Y = - 14)

D est le n° du jour dans l'année ( le 30 juin 2002 est de N° 181, le 30 juin 2004 est de N° 182 )

H est l'heure décimale dans le jour ( 13 H 45 mn 56 s ---> H=13.765556 )

NB : Une routine ( voir les routines) nommée J_JULIEN.EXE vous donnera le résultat.

Exemple : le 25 septembre 2000 à 9 h 30 mn 30 s est JJ2000=267.8961806 avec Y=0, D=267, H=9.50833, calcul confirmé par J_JULIEN.EXE. Réciproquement la routine DATE_CAL.EXE redonnera à partir du jour julien, la date calendaire classique.

 JOUR JULIEN ancien : associé au 1er janvier de l'an 4713 avant JC :

La formule permettant le calcul est :

Y le n° de l'année dans le siècle, compté à partir de l'année1900 ( 2005 ---> Y = 105, 1986 ---> Y= 86 )

D est le n° du jour dans l'année ( le 30 juin 1986 est de N° 181, le 30 juin 1988 est de N° 182 )

H est l'heure décimale dans le jour ( 13 H 45 mn 56 s ---> H=13.765556 )

 PASSAGE JJancien à JJ2000 :

EXEMPLES :

1er Janvier 2000 12 h 00 mn 00 s : JJ2000 = 0 JD = 2451545

30 juin 1986 0 h 0 mn 0 s : JJ2000 = - 4933.5 JD = 2446611.5

14 mai 2003 15 h 25 mn 23 s :

JJ2000 = 1229.1426273

JD = 2452774.1426273

VIII DEBRIS SPATIAUX :

NB : Ce document est extrait d'un rapport de stage effectué au CNES sur la prédiction de collision avec des débris spatiaux, rédigé par SEBASTIEN GENDRON, un ancien du DESS 2003-2004 du département UNIMECA à l' Université Marseille III de Chateau-Gombert.

Les débris spatiaux sont communément divisés en trois groupes en fonction de leurs dimensions.

Les débris dont la taille est inférieure à 1 cm sont estimés à quelque 35 millions. Ils peuvent être à l’origine de dommages significatifs tels que des perforations ; en effet, la vitesse relative entre un débris et un objet d’intérêt et l’intensité d’un impact hyper vitesse entre ces deux objets est extrêmement forte. Ces débris ne suscitent toutefois pas une inquiétude notable car les études menées sur les blindages valident leur faisabilité et leur efficacité à l’encontre de tels débris (l’addition d’un blindage sur un objet spatial doit se comprendre en terme d’augmentation de masse -et de coût- or le lanceur est limité à une masse maximale au lancement ; l’addition d’un blindage diminue donc la charge utile pouvant être mise en orbite).

Quelque 200 000 objets mesurent entre 1 et 10 cm. Les dommages causés par ces objets sont importants. Aucune protection n’est aujourd’hui technologiquement adaptable aux navettes, satellites, …

Enfin, près de 10 000 objets de plus de 10 cm encombrent l’espace. Les conséquences d’une collision avec l’un d’eux seraient catastrophiques pour la mission en cours ; seule parade à ces détracteurs : les manœuvres d’évitement. Les satellites opérationnels ne constituent que 6% de ces débris ; le reste des débris est formé de satellites non fonctionnels (21%), d’étages supérieurs de lanceurs (17%), de débris opérationnels tels que boulons, sangles,… (15%), de fragments enfin issus des explosions en orbite (41%).

La distribution des débris spatiaux n’est nullement uniforme avec l’altitude.

Deux zones de l’espace circumterrestre apparaissent particulièrement polluées. La première se situe entre 400 et 1600 km d’altitude ; elle affecte donc tout particulièrement les satellites évoluant sur des orbites basses. La ceinture géostationnaire constitue la seconde zone de très forte densité de débris.

Guiziou Robert septembre 2002, décembre 2004, février 2005,sept 2011

Il existe une version Word 97 nommée MOUV_KEP.DOC